Пятница , 30 сентября 2022
Главная / Разное / Объем ромба: Формулы площадей и объемов геометрических фигур

Объем ромба: Формулы площадей и объемов геометрических фигур

Содержание

Площадь ромба

Площадь ромба, формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн.

Для вычисления площади ромба применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор для вычисления площади ромба в режиме онлайн.

Таблица с формулами площади ромба (в конце страницы)

— Вычисления   (показано)   (скрыто)

— примечания   (показано)   (скрыто)


1

Площадь ромба по стороне и высоте

… подготовка …

a — сторона

h — высота



2

Площадь ромба по двум диагоналям

… подготовка …

d1 — диагональ

d2 — диагональ



3

Площадь ромба по углу и противолежащей диагонали

… подготовка …

d — диагональ

α° — угол между сторонами



4

Площадь ромба по углу и диагонали проведенной из этого угла

… подготовка …

d — диагональ

α° — угол между сторонами



5

Площадь ромба по стороне и углу между сторонами

… подготовка …

a — сторона

α° — угол между сторонами



6

Площадь ромба по радиусу вписанной окружности и углу между сторонами

. .. подготовка …

r — радиус вписанной окружности

α° — угол между сторонами



7

Площадь ромба по радиусу вписанной окружности и стороне

… подготовка …

a — сторона

r — радиус вписанной окружности


Примечание:

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°


Таблица с формулами площади ромба

В зависимости от известных исходных данных, площадь ромба можно вычислить по различным формулам.



Определения

Ромб — это геометрическая фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами) одинаковой длины, у которой противоположные стороны попарно параллельны, а угол между любыми двумя смежными сторонами не равен 90 градусов.

Ромб – это частный случай параллелограмма.

Высота ромба – это отрезок проведенный из вершины ромба к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.

Площадь ромба – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами) одинаковой длины, у которой противоположные стороны попарно параллельны, а угол между любыми двумя смежными сторонами не равен 90 градусов.


Площадь поверхности и объём призмы — урок.

Геометрия, 11 класс.

 

Площадь полной поверхности призмы — сумма площадей всех граней призмы.

Она состоит из площади боковой поверхности и площади оснований

Sполн.=Sбок.+2⋅Sосн.

 

Все грани куба — квадраты, поэтому рациональнее использовать формулу

Sполн. пов. куба=6⋅a2.

  

Объём прямой призмы находится по формуле:

V=Sосн.⋅H.

 

Для прямоугольного параллелепипеда можно использовать формулу \(V = abc\) , где \(a\), \(b\), \(c\) — измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота).

 

Для куба используется формула V=a3, где \(a\) — ребро куба.

 

Основанием призмы может быть любой \(n\)-угольник, поэтому важно знать формулы вычисления их площадей.

 

Важные формулы нахождения площади \(n\)-угольников

  

 Квадрат a2 
 Прямоугольник a⋅b 
 Ромб a⋅b⋅sinαa⋅hd1⋅d22
 Параллелограмм a⋅b⋅sinαa⋅h 
 Равносторонний треугольник a234 
 Прямоугольный треугольник a⋅b2a⋅h3 
 Произвольный треугольник a⋅b⋅sinα2a⋅h3p⋅p−ap−bp−c
 Трапеция a+b2⋅h 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Формула нахождения площади правильного шестиугольника

 

Правильный шестиугольник состоит из \(6\) правильных треугольников.

 

Sправ. ш.=6⋅a234, где \(a\) — сторона шестиугольника

  

Формулы объема и площади поверхности. Призма, пирамида

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

  1. Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
  2. Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб 🙂

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

Иногда в задаче  надо посчитать площадь поверхности куба или призмы.

Напомним, что площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней.

В некоторых задачах каждое ребро многогранника увеличили, например, в три раза. Очевидно, что при этом площадь поверхности увеличится в девять раз, а объём — в раз.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.


Самые распространенные фигуры технического анализа

Что такое фигура в трейдинге? С виду это обычная геометрическая форма, которая очерчивает некоторую часть графика цены.

Зачем она нужна? Если трейдер выявляет фигуру технического анализа на графике, то он понимает, в каком направлении с большей вероятностью продолжится движение. Также она предоставляет возможность комфортного входа в сделку.

Сигнал на покупку или продажу возникает по окончанию формирования фигуры, когда цена выходит за ее пределы. Как правило, именно в этот момент совершается сделка.

Важно помнить, что технические фигуры — не панацея. Есть фигуры, которые показывают отличную результативность на одних акциях, а на других просто «не работают». Для большей уверенности в прогнозе, их нередко используют в сочетании с различными техническими индикаторами.

Рассмотрим распространенные фигуры технического анализа. Они подразделяются на три группы: фигуры продолжения тренда, разворотные фигуры и двусторонние фигуры.

Фигуры продолжения тренда. Вымпел

Фигура «Вымпел» представляет собой горизонтально расположенный треугольник. Движение цены внутри вымпела — затухающее: диапазон колебаний на графике постепенно сужается. Вместе с этим снижаются и объемы торгов.


При восходящем тренде успешная реализация фигуры предполагает пробой верхней границы вымпела и продолжение up-тренда. Обратная ситуация происходит в случае «медвежьей» тенденции.

Один из основных критериев формирования вымпела — интенсивное движение по направлению тенденции перед ее остановкой. Соответствующая линия тренда на графике называется «древко» или «флагшток» (синяя линяя на графике).

Потенциал движения по тренду после выхода из вымпела равен в теории высоте «древка».


Флаг

Это еще одна фигура, возникающая перед продолжением тенденции. Линии фигуры должны быть расположены практически параллельно друг другу. Главное условие флага — направленность против тренда. При этом диапазон колебаний не должен быть слишком широким.


Как и вымпел, флаг имеет «древко» — импульсное движение на графике по тренду перед началом формирования фигуры.

Открытие сделки производится после того, как цена пробила границу флага по направлению тренда. В качестве метода входа можно использоваться стоп-заявку с ценой несколько выше (ниже) границы фигуры. Из-за постоянного сдвига канала цен стоп-ордер рекомендуется периодически редактировать.

Например, мы хотим совершить сделку на покупку в случае пробоя верхней границы нисходящего флага. Тогда нам нужно выставить стоп-заявку по цене несколько выше актуального значения верхней границы флага. Через определенное время, в зависимости от таймфрейма, мы уменьшаем цену в заявке соразмерно падению границ флага.


Прямоугольник

Прямоугольник — это горизонтальный канал, в пределах которого колеблется цена. Фигура возникает, когда котировки не в состоянии продолжить движение по тренду.

Иногда рынку нужно «передохнуть», поскольку цена выросла (упала) больше, чем обычно. На это может указывать превышение TR* своего среднего значения ATR. Если фигура возникает на часовом графике, то TR берется с 4-часового или дневного графика, то есть со старшего таймфрейма.

* True Range — Истинный диапазон. Рассчитывается для конкретной свечи на определенном таймфрейме


Идея прямоугольника проста. Если движение по тренду останавливается на какое-то время, но при этом цена не в состоянии развернуться против тренда, то с большей вероятностью актуальная тенденция будет продолжена.

Отметим, что чем дольше котировки находятся в прямоугольнике, тем выше шансы на его скорое завершение. При этом, как правило, чем более узкий прямоугольник, тем с более сильным импульсом цена выйдет за его пределы.


Разворотные фигуры. Ромб

Графический паттерн «Ромб» предшествует в теории смене тренда.


Начало ромба возникает в конце импульсного движения по тренду. Цена затормаживается, после чего ее колебания постепенно возрастают, но происходят в пределах расходящегося треугольника (левая половина ромба). Затем происходит обратное — волатильность плавно снижается, и мы наблюдаем окончательное формирование ромба.

Сигнал на сделку против тренда возникает при пробое грани ромба вниз (вверх). Как правило, чем более узкий ромб относительно горизонтальной оси, тем импульсивней выход за его пределы. Однако при этом он не должен быть слишком вытянутым, иначе фигура превратится в боковик.

Как и в случае с другими фигурами, объемы торгов являются отличным вспомогательным инструментом при определении границ и момента завершения ромба. Например, импульсный рост объемов возле границы ромба увеличивает вероятность завершения фигуры.


Двойная и тройная вершина (дно)

Двойное (тройное) дно формируется на падающем тренде, в то время как двойная (тройная вершина) — на растущей тенденции. В остальном эти формации схожи. Обе фигуры выступают предвестниками разворота тренда.


Рассмотрим двойную вершину и тройное дно. Двойная вершина формируется при восходящей тенденции: цена растет, потом отскакивает вниз от определенного уровня (первая вершина) и незначительно падает, формируя локальный минимум — сигнальную линию (синяя линия на графике). Затем цена поднимается и упирается в уровень первого максимума, образуя вторую вершину. Далее — разворот с успешным пробоем вниз сигнальной линии, после которого цена продолжает падать. Таким образом, происходит смена тренда на нисходящий.

Сигнал для входа в короткую позицию — пробой вниз сигнальной линии. Для большей уверенности можно дождаться тестирования снизу сигнальной линии после ее пробоя. Риск продолжения up-тренда в таком случае снижается, однако присутствует вероятность упустить движение при импульсном падении.

Тройное дно — противоположный паттерн, суть которого заключается в том, что цена трижды касается уровня дна, дважды отскакивая сверху от сигнальной линии. В третий раз котировки пробивают наверх сигнальную линию, формируя растущий тренд.

Потенциал будущего движения в теории равен расстоянию между сигнальной линией и уровнем дна (вершины).


Голова и плечи

Эта фигура очень похожа на тройную вершину. Единственное отличие — вторая вершина находится выше первой и третьей, при этом крайние максимумы (плечи) расположены примерно на одном уровне. На практике допускается различие в высоте плеч.

Сигналом на продажу также выступает пробой линии шеи. Приведем еще один вариант входа в сделку: дождаться успешного пробоя линии шеи, а затем открыть позицию после тестирования уровня сопротивления, расположенного ниже уровня шеи. Точка входа в таком случае надежней, но часть потенциальной прибыли упускается.


Перевернутая голова и плечи — противоположная формация, возникающая на падающем тренде и формирующая новый «бычий» тренд.


Двусторонние фигуры. Клин

Клин — это направленная вверх или вниз фигура с формой треугольника. В отличие от вымпела, линии клина имеют одну направленность — восходящую или нисходящую. От флага клин отличает разный наклон этих линий.


Как и большинство фигур, формируется после остановки тренда, когда колебания цены начинают затухать. Существует две вариации паттерна:

1) восходящий клин — с растущими минимумами и максимумами;
2) нисходящий клин — с падающими минимумами и максимумами.

Может представлять собой как фигуру продолжения тренда, так и разворотную формацию. Необходимо помнить один ключевой момент: успешная реализация клина закачивается выходом цены в сторону, противоположную направленности клина.

Сигналом для открытия короткой позиции по «бычьему» клину является пробой вниз линии поддержки. Сделка на покупку по «медвежьему» клину совершается после пробоя наверх линии сопротивления.

Необходимые условия возникновения клина:

— линии клина сходятся, но при этом они обе направлены вверх или вниз;
— одна из линий должна быть проведена хотя бы по трем точкам, при этом вторая линия может быть построена по двум точкам.


Восходящий и нисходящий треугольник

Восходящий треугольник представляет собой затухающие колебания цены в виде треугольника с горизонтальным уровнем сопротивления. Нисходящий треугольник имеет горизонтальный уровень поддержки.


Оба паттерна не зависят от предыдущей динамики цен и тренда. «Бычий» треугольник реализуется в последующем росте, «медвежий» треугольник — предвестник падения.

Сигналы на вход в сделку:

— пробой вверх сопротивления восходящего треугольника — покупка;
— пробой вниз поддержки нисходящего треугольника — продажа.

«Бычий» и «медвежий» треугольники используются для совершения сделок на различных таймфреймах. Однако любую фигуру рекомендуется использовать, начиная с часового графика и старше. В этом случае ее достоверность и надежность сигнала будут выше.


Начать торговать

БКС Брокер

Задачи в13 ЕГЭ по математике. Призма

Продолжаем решать  задачи из открытого банка Заданий №8 ЕГЭ по математике.  В этот раздел попадают стереометрические задачи.

Смотрите также 1 (куб, параллелепипед), 2 (призма), 3 (пирамида, пирамида II), 4 (составные многогранники, составные многогранники II), 5 (цилиндр+конус), 6 (цилиндр), 7 (конус), 8 (шар).

Итак, сегодня работаем с призмой.

 

Задача 1.

 

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 25 и 60, и боковым ребром, равным 25.

Решение: + показать

Площадь поверхности призмы :

 

Площадь ромба с диагоналями :

поэтому

Боковая поверхность данной  прямой призмы – четыре  равных прямоугольника.

 

Нам потребуется длина стороны ромба. Найдем ее по т. Пифагора из треугольника (по свойству ромба диагонали перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам):

Итак, 

Наконец,

Ответ: 4750. 

Задача 2.

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а высота — 10.

 Решение: + показать

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы  складывается из площадей 6-ти равных прямоугольников (одна сторона прямоугольника – сторона основания, вторая – высота призмы).

Ответ: 180. 

Задача 3.

Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 15, а площадь поверхности равна 930.

Решение: + показать

Задача 4.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 6, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Решение: + показать

Объем призмы вычисляется по следующей формуле: ( – высота, в данном случае и боковое ребро прямой призмы).

При этом  в основании – прямоугольный треугольник, площадь которого находится как полупроизведение катетов:

Тогда

Ответ: 60. 

Задача 5.

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1300 см воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 28 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см

Решение: + показать

 

Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен объему прямой призмы с высотой 3 и основанием, равным основанию исходной призмы. То есть объем вытесненной жидкости составляет объема жидкости.

Итак, объем детали есть

Ответ: 156. 

 

Задача 6.

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 18  см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение: + показать

Задача 7.

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение: + показать

1) Высота призмы равна высоте цилиндра.

2) В основании правильной призмы – квадрат.

Диаметр основания цилиндра – это сторона основания призмы (сторона квадрата).

3) Площадь боковой поверхности призмы есть сумма площадей 4-х равных прямоугольников. Измерения таких прямоугольников – это 1  и 2.

Поэтому  

Ответ: 8. 

Задача 8.

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен  , а высота равна 1.

Решение: + показать

1) Высота призмы равна высоте цилиндра.

2) В основании правильной пирамиды – равносторонний треугольник.

Радиус вписанного в него круга (основания цилиндра) ищем из прямоугольного треугольника с углом 30°(помечен на рисунке красным цветом, – в нем катет, прилежащий к углу 30°, есть половина стороны треугольника):

,

где   – cсторона треугольника.

4) Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы – есть сумма площадей  трех равных прямоугольников с измерениями 6 и 1 (высота призмы).

Ответ: 18. 

Задача 9.

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен  , а высота равна 1.

Решение: + показать

Задача 10.

Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 26, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

Решение: + показать

Площадь каждой  боковой грани отсеченной призмы вдвое меньше соответствующей площади боковой грани исходной призмы. Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади боковой поверхности исходной.

Стало быть, площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 13.

Ответ: 13. 

Задача 11.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 19,5. Найдите объем исходной призмы.

Решение: + показать

Так как плоскость проведена через среднюю линию основания, то площадь основания отсеченной  призмы меньше площади основания исходной в 4 раза  (основания (как треугольники)) подобны друг другу с коэффициентом подобия 2, значит площади находятся в отношении ).

Высоты призм совпадают.

Поэтому объем исходной призмы в 4 раза больше объема отсеченной призмы, то есть равен

Ответ: 78. 

Задача 12.

Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 8, а боковые ребра равны   и наклонены к плоскости основания под углом 30°.

Решение: + показать

Задача 13.

В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 16 и отстоит от других боковых ребер на 9 и 12. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Решение: + показать

Задача 14.

Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 19. Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в семь раз?

Решение: + показать

Достаточно просто сказать следующее:

Площали поверхностей подобных многогранников находятся в отношении (если коэффициент подобия – ). А при увеличении каждого ребра исходной призмы в 7 раз мы получаем именно призму, подобную исходной.

Поэтому площадь поверхности новой призмы будет в 49 раз больше исходной, то есть будет равняться 931.

Ответ: 931. 

Задача 15.

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 3.

Решение:  + показать

Время передохнуть немного. –>+ показать

 

Наглядная иллюстрация пересечения двух множеств 🙂

 

 

Вы можете пройти тест по Задачам №8, призма.

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Стереометрия

      Введем следующие обозначения:

      Используя эти обозначения, составим таблицу с формулами для вычисления объемов, площадей боковой поверхности и площадей полной поверхности различных видов призм.

ПризмаРисунокФормулы для объема, площади боковой и полной поверхности
Куб

V = a3,

Sбок = 4a2,

Sполн = 6a2,

где  a – длина ребра куба.

Прямоугольный параллелепипед

V = abc,

Sбок = 2ac + 2bc,

Sполн = 2ac + 2bc +2ab,

где 
a, b  – длины ребер основания параллелепипеда,
c — высота параллелепипеда.

Прямой параллелепипед,
в основании которого лежит параллелограмм со сторонами   a, b и углом φ

Sосн = ab sin φ,

V = Sоснh = abh sin φ,

Sбок = 2ah + 2bh,

Sполн = 2ab sin φ + 2ah +2bh,

где
a, b – длины ребер основания параллелепипеда,
φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,
h — высота параллелепипеда.

Произвольный параллелепипед

Sосн = ab sin φ,

V = Sоснh = abh sin φ,

V = Sперпс,

Sбок = Pперпс,

Sполн = 2ab sin φ + Pперпс,

где
a, b – длины ребер основания параллелепипеда,
φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,
c – длина бокового ребра параллелепипеда,
h — высота параллелепипеда.

Прямая призма

V = Sоснh,

Sбок = Pоснh,

Sполн = 2Sосн + Sбок,

где
h — высота прямой призмы.

Правильная
n – угольная призма

(см. раздел «правильные многоугольники»),

V = Sоснh,

Sбок = Pоснh = anh,

Sполн = 2Sосн + Sбок,

где
a – длина ребра основания правильной призмы,
h — высота правильной призмы.

Произвольная призма

V = Sоснh,

V = Sперпl,

Sбок = Pперпl,

Sполн = 2Sосн + Sбок,

где
l – длина бокового ребра призмы,
h — высота призмы.

Куб

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

V = a3,

Sбок = 4a2,

Sполн = 6a2,

где  a  – длина ребра куба.

Прямоугольный параллелепипед

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

V = abc,

Sбок = 2ac + 2bc,

Sполн = 2ac + 2bc +2ab,

где 
a, b  – длины ребер основания параллелепипеда,
c — высота параллелепипеда.

Прямой параллелепипед, в основании которого лежит параллелограмм со сторонами   a, b и углом φ

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

Sосн = ab sin φ,

V = Sоснh = abh sin φ,

Sбок = 2ah + 2bh,

Sполн =
= 2ab sin φ + 2ah + 2bh,

где
a, b – длины ребер основания параллелепипеда,
φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,
h — высота параллелепипеда.

Произвольный параллелепипед

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

Sосн = ab sin φ,

V = Sоснh = abh sin φ,

V = Sперпс,

Sбок = Pперпс,

Sполн =
= 2ab sin φ + Pперпс,

где
a, b – длины ребер основания параллелепипеда,
φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,
c – длина бокового ребра параллелепипеда,
h — высота параллелепипеда.

Прямая призма

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

V = Sоснh,

Sбок = Pоснh,

Sполн = 2Sосн + Sбок,

где
h — высота прямой призмы.

Правильная n – угольная призма

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

(см. раздел «правильные многоугольники»),

V = Sоснh,

Sбок = Pоснh = anh,

Sполн = 2Sосн + Sбок,

где
a – длина ребра основания правильной призмы,
h — высота правильной призмы.

Произвольная призма

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

V = Sоснh,

V = Sперпl,

Sбок = Pперпl,

Sполн = 2Sосн + Sбок,

где
l – длина бокового ребра призмы,
h — высота призмы.

      Замечание 1. С понятием призмы и различными видами призм можно ознакомиться в разделе «Призмы».

      Замечание 2. С определением сечения призмы и способами построения сечений призмы можно ознакомиться в разделе «Сечения призмы. Перпендикулярные сечения призмы».

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Онлайн калькуляторы вычисления площади, периметра, объёма, стороны, высоты, диагонали, радиуса, угла. Плоских, объёмных геометрических фигур. Векторы

Главная Геометрия

Онлайн калькуляторы вычисления площади, периметра, объёма, стороны, высоты, диагонали, радиуса, угла. Плоских, объёмных геометрических фигур. Векторы


Вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Площадь плоских геометрических фигур

Площадь треугольника

Площадь прямоугольника

Площадь параллелограмма

Площадь ромба

Площадь трапеции

Площадь четырехугольника

Площадь правильного многоугольника

Площадь круга

Площадь эллипса

Площадь кольца

Площадь сектора кольца

Площадь сектора круга

Площадь сегмента круга

Площадь объёмных геометрических фигур

Площадь шара (сферы)

Площадь куба

Площадь цилиндра

Площадь полого цилиндра

Площадь части цилиндра и полого цилиндра

Площадь пирамиды

Площадь усеченной пирамиды

Площадь параллелепипеда (призмы)

Площадь поверхности правильной треугольной призмы

Площадь эллипсоида

Площадь конуса

Площадь усеченного конуса

Площадь тетраэдра

Площадь поверхности сферического сегмента

Площадь поверхности шарового сегмента

Площадь октаэдра

Периметр геометрических фигур

Длина (периметр) окружности круга

Длина дуги

Периметр треугольника

Периметр прямоугольника

Периметр квадрата

Периметр параллелограмма

Периметр ромба

Периметр трапеции (четырёхугольника)

Объём геометрических фигур

Объем куба

Объем параллелепипеда

Объем пирамиды

Объем усеченной пирамиды

Объём призмы

Объём правильной треугольной призмы

Объем тетраэдра

Объем шара (сферы)

Объем шарового сегмента

Объем конуса

Объем усеченного конуса

Объем цилиндра

Объем эллипсоида

Объем октаэдра

Стороны геометрических фигур

Сторона треугольника

Найти длину стороны квадрата зная площадь или диагональ

Найти длину стороны прямоугольника зная площадь, диагональ или периметр

Длина сторон ромба через диагонали

Найти длину стороны параллелограмма зная диагональ и сторону

Найти ребро куба зная объем или диагональ

Найти боковое ребро правильного параллелепипеда зная длину ребра и диагональ

Высота геометрических фигур

Высота треугольника

Найти, вычислить, высоту трапеции зная стороны или среднюю линию и площадь

Найти высоту ромба через сторону и угол

Вычислить высоту пирамиды через радиус и ребро

Вычислить высоту параллелограмма зная длину стороны и угол

Вычислить высоту цилиндра зная объем и радиус

Диагональ геометрических фигур

Найти диагональ прямоугольника зная длину сторон

Найти диагональ квадрата зная сторону или площадь или периметр

Найти диагонали ромба зная длину стороны и угол

Найти диагональ параллелограмма зная стороны и угол

Найти диагональ куба зная длину ребра

Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда зная длину его рёбер

Радиус геометрических фигур

Найти радиус круга, зная окружность или площадь

Найти радиус цилиндра

Вычислить радиус шара, сферы

Угол геометрических фигур

Найти углы треугольника зная длину сторон

Найти углы прямоугольного треугольника зная длину катетов, или длину катета и гипотенузы

Найти углы равнобедренного треугольника зная стороны и основание

Найти углы ромба зная диагональ и длину стороны

Найти углы параллелограмма зная длину сторон и диагональ

Найти внутренние и внешние углы многоугольника

Вектор

Длина вектора

Сложение векторов, сумма векторов

Вычитание векторов, разность векторов

Умножение вектора на число

Скалярное произведение векторов

Направляющие косинусы вектора

Линейные геометрические фигуры

Расчет расстояния между точками

Расчет длины линии

Конвертер

Объем и вместимость


Понравилась страница? Поделитесь ссылкой в социальных сетях. Поддержите проект!

Площадь и объем

Периметр

Периметр = расстояние по краю.

Можно было пройтись по периметру.

Все размеры должны иметь одинаковые единицы измерения!

Не смешивайте cm с m.

Периметр имеет простые блоки.

Пример

P = 5 + 2 + 2 + 3 + 9 + 3 + 2 + 2 см
P = 28 см

Площадь

Площадь = занимаемая площадь

Вы можете закрасить область.

Все размеры должны иметь одинаковые единицы измерения!

Не смешивайте см, 2 с м 2

1 м 2 = 100 см x 100 см

= 10000 см 2

Площадь насчитывает единицы

2 .

Площадь квадрата

Пример

Посчитаем площадь квадрата

Площадь прямоугольника

Примеры

Вычислить площадь прямоугольников

Площадь треугольника

Площадь треугольника = ½ x основание x высота перпендикуляра

Примеры

Найдите площадь треугольника ниже:

Какая длина основания треугольник, если он имеет площадь 45 см 2 ?

Площадь круга

Площадь воздушного змея

Пример

Рассчитайте площадь следующего воздушного змея:

Площадь трапеции

Площадь трапеции = ½ x среднее значение основания x высота перпендикуляра

Пример

Какова площадь этой трапеции?
(Каждый квадрат соответствует 1 см 2 )

Площадь параллелограмма

Пример

Вычислить площадь параллелограмма:

Площадь ромба

Пример

Посчитаем площадь ромба:

(Размеры указаны по полной диагонали)

Объем

Объем = вместимость

Вы можете заполнить том

Все размеры должны иметь одинаковые единицы измерения!

Не смешивайте cm с m.

Объем в единицах

3

Обратите внимание, что для кубоида

Пример


Рассчитайте объем кубоида ниже:


Пример

Преобразование 1 м 3 в литры


Сначала преобразуйте единицы

Но 1 см 3 = 1 мл и 1000 мл = 1 литр
Для литров разделите 3 в см на 1000.

Так 1000000 см 3 = 1000 литров
1 м 3 = 1000 литров

Объем сферы

Объем сферы

Где r — радиус сферы.

Примеры


Вычислите объем следующей сферы.
Дайте правильный ответ на 1 dp, а также на 2 sig.

Рассчитайте объем следующей сферы.
Дайте правильный ответ на 1 сигн. Рис.

Вычислите диаметр сферы объемом 700 см 3 .
Дайте правильный ответ с точностью до 1 дп.

Объем конуса

Конус имеет объем

Где r — радиус круговой части конуса, а h — высота перпендикуляра конуса.

Пример
Вычислите объем рожка мороженого диаметром 4 см и высотой 6 см. Дайте правильный ответ с точностью до 1 дп.

Сколько таких рожков можно налить из 1 литра мороженого?
1000 см 3 = 1 л

1000 ÷ 25,1 = 39,84
Таким образом, из одного литра мороженого можно наполнить 39 рожков.

Пример
Вычислите высоту рожка мороженого диаметром 4 см и объемом 35 мл.Дайте правильный ответ с точностью до 1 дп.

Конус высотой 8,4 см.

Пример
Вычислите диаметр рожка мороженого высотой 8 см и объемом 90 мл. Дайте правильный ответ с точностью до 1 дп.

Объем призмы

Для призмы V = Ah

Таким образом, объем = площадь x высота (или площадь x длина в положении лежа)


Пример

Какой объем призмы? который имеет площадь 37 см 2 а высотой 4 см?

Объем цилиндра

Цилиндр представляет собой круговую призму,

Пример

Вычислите объем консервной банки высотой 0. 8м и диаметром 10 см. Дайте свой правильный ответ на 1 сигфиг.

Пример
Вычислите диаметр консервной банки высотой 8 см и объемом 90 мл. Дайте правильный ответ с точностью до 1 дп.

Объем пирамиды

Объем любой пирамиды равен

.

где A — площадь основания пирамиды, а h — ее высота.

Примеры

Каков объем этой квадратной пирамиды?

Каков объем этой прямоугольной пирамиды?

Каков объем этой треугольной пирамиды?

Площадь

Площадь — это общая внешняя площадь
формы.

Пример

Найдите площадь поверхности кубоида:

У этой формы 6 граней

2 грани размером 6 см x 4 см
2 лица имеют площадь 6см x 2см
2 лица имеют площадь 2 см x 4 см

2 x 6 см x 4 см = 48 см 2
2 x 6 см x 2 см = 24 см 2
2 x 2 см x 4 см = 16 см 2
Площадь поверхности = 88 см 2

Площадь ≠ Объем

Общая площадь

Нарезать удобные формы
Найти недостающие размеры
Рассчитать отдельные площади
Подсчитать итого

Помните
все размеры должны иметь одинаковые единицы измерения!

Пример

Форма A = A 1 + A 2
A 1 = 5×2 = 10 см 2
A 2 = 3×9 = 27 см 2
Форма = 37 см 2

Составной том

Нарезать удобные формы
Найти недостающие размеры
Рассчитать отдельные площади
Подсчитать итого

Пример

© Александр Форрест

Формула площади ромба с калькулятором

Формула площади ромба с калькулятором — Math Open Reference Три разных способа рассчитать площадь ромбы приведены ниже, с формулой для каждого. Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждую вершину изменить форму ромба. Площадь будет постоянно рассчитываться с использованием метода «базисное умножение на высоту».

Ромб на самом деле это просто особый тип параллелограмма. К ним также можно применить многие расчеты площади. Выберите формулу на основе значений, которые вы знаете для начала.

1. Метод «базис, умноженный на высоту»

Сначала выберите одну сторону в качестве основы. Подойдет любой, все они одинаковой длины. Затем определите высоту — расстояние по перпендикуляру от выбранной базы до противоположной стороны.Площадь — это произведение этих двух или, как формула: где
b — длина основания
a — высота (высота).

Воспользуйтесь калькулятором ниже, чтобы вычислить площадь ромба с учетом длины основания (стороны) и высота (перпендикулярная высота).

Введите любые два значения, и будет вычислено недостающее. Например, введите площадь и базовую длину, и будет рассчитана высота, необходимая для получения этой площади.

2. Метод «диагоналей»

Еще одна простая формула для определения площади ромба, когда известны длины диагоналей. Площадь составляет половину произведения диагоналей. Как формула: где
d 1 — длина диагонали
d 2 — длина другой диагонали

3. Использование тригонометрии

Если вы знакомы с тригонометрией, есть удобная формула, когда вы знаете длину стороны и любой угол: где
s — длина любой стороны
a — любой внутренний угол
sin — синусоидальная функция
(см. Обзор тригонометрии)

Поначалу может показаться странным, что вы можете использовать любой угол, поскольку не все они равны.Но углы либо равны, либо дополнительный, и дополнительные углы имеют одинаковый синус.

Другие полигоны

Общие

Типы полигонов

Площадь различных типов полигонов

Периметр различных типов полигонов

Углы, связанные с многоугольниками

Именованные полигоны

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Калькулятор ромбов

Формы ромба


Эти два рисунка относятся к одному и тому же ромбу.

a = длина сторон
p = длинная диагональ
q = более короткая диагональ
h = высота
A, B, C, D = угловые уголки
K = площадь
P = периметр
π = пи = 3,1415926535898
√ = квадратный корень

Использование калькулятора

Рассчитайте некоторые переменные ромба в зависимости от предоставленных входных данных.Расчеты включают длину сторон, углы, диагонали, высоту, периметр и площадь ромба.

Ромб — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, а все стороны равны по длине. Ромб, у которого все углы прямые, называется квадрат. Ромб (или ромб) — это параллелограмм со всеми четырьмя сторонами равной длины.

Единицы: Обратите внимание, что единицы длины показаны для удобства.Они не влияют на расчеты. Единицы измерения указывают порядок результатов вычислений, например футы, футы 2 или футы 3 . Можно заменить любой другой базовый блок.

Формулы и ограничения ромба

Угловые углы: A, B, C, D

  • А = С
  • B = D
  • A + B = 180 ° = π радиан
  • для ромба, не являющегося квадратом,

Площадь: К

с A и B в радианах,

K = ah = a 2 sin (A) = a 2 sin (B) = pq / 2

Высота: h

  • h = h a = h b
  • h = грех (A) = грех (B)

Диагонали: p, q

  • p = a √ (2 + 2 cos (A)) = a √ (2-2 cos (B))
  • q = a √ (2 — 2 cos (A)) = a √ (2 + 2 cos (B))
  • p 2 + q 2 = 4a 2

Периметр: P

P = 4a

Rhombus Вычислений:

Следующие формулы, основанные на приведенных выше, используются в этом калькуляторе для выбранных вариантов расчета.

  • Вычислить B, C, D | Учитывая A
    Заданный угол A рассчитать углы B, C и D
    • B = 180 ° — A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить A, C, D | Учитывая B
    По заданному углу B вычислить углы A, C и D
    • A = 180 ° — B
    • С = А
    • D = B
  • Рассчитать | Учитывая P
    С учетом периметра вычислить сторону a
  • Рассчитать P | Учитывая
    Заданная длина стороны a рассчитать периметр
  • Вычислить B, p, q, h, P, K | Учитывая a, A
    По заданной длине стороны a и углу A вычислить диагонали, периметр, высоту, площадь и углы B, C и D
    • p = √ (2a 2 + 2a 2 cos (A))
    • q = √ (2a 2 — 2a 2 cos (A))
    • P = 4a
    • h = грех (A)
    • К = ах
    • B = 180 ° — A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить A, B, q, h, P, K | Учитывая а, р
    По заданной длине стороны a и диагонали p вычислить диагональ q, периметр, высоту, площадь и углы A, B, C и D
    • A = arccos (1 — (p 2 /2 a 2 ))
    • q = √ (2a 2 — 2a 2 cos (A))
    • h = грех (A)
    • P = 4a
    • K = a 2 sin (A)
    • B = 180 ° — A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить A, B, p, h, P, K | Учитывая a, q
    По заданной длине стороны и диагонали q вычислить диагональ p, периметр, высоту, площадь и углы A, B, C и D
    • A = arccos (1 + (q 2 / 2a 2 ))
    • p = √ (2a 2 + 2a 2 cos (A))
    • h = грех (A)
    • P = 4a
    • K = a 2 sin (A)
    • B = 180 ° — A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить A, B, p, q, P, K | Учитывая a, h
    По заданной длине и высоте стороны вычислить диагонали, периметр, площадь и углы A, B, C и D
    • A = arcsin (ч / д)
    • p = √ (2a 2 + 2a 2 cos (A))
    • q = √ (2a 2 — 2a 2 cos (A))
    • P = 4a
    • K = a 2 sin (A)
    • B = 180 ° — A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить A, B, p, q, h, P | Учитывая a, K
    По заданной длине стороны и площади вычислить диагонали, периметр, высоту и углы A, B, C и D
    • A = arcsin (K / a 2 )
    • p = √ (2a 2 + 2a 2 cos (A))
    • q = √ (2a 2 — 2a 2 cos (A))
    • h = грех (A)
    • P = 4a
    • B = 180 ° — A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить a, A, B, p, q, P | Учитывая К, ч
    По заданной площади и высоте вычислить длину стороны, диагонали, периметр и углы A, B, C и D
    • a = К / ч
    • P = 4a
    • A = arcsin (K / a 2 )
    • p = √ (2a 2 + 2a 2 cos (A))
    • q = √ (2a 2 — 2a 2 cos (A))
    • B = 180 ° — A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить a, A, B, q, h, P | Учитывая K, p
    По диагонали p и площади вычислить периметр, высоту, длину стороны, диагональ q и углы A, B, C и D
    • q = 2К / п
    • a = √ (p 2 + q 2 ) / 2
    • P = 4a
    • A = arccos (1 — (p 2 /2 a 2 ))
    • h = грех (A)
    • B = 180 ° — A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить a, A, B, p, h, P | Учитывая K, q
    По диагонали q и площади вычислить периметр, высоту, длину стороны, диагональ p и углы A, B, C и D
    • p = 2K / q
    • a = √ (p 2 + q 2 ) / 2
    • P = 4a
    • A = arccos (1 + (q 2 / 2a 2 ))
    • h = грех (A)
    • B = 180 ° — A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить a, B, p, q, P, K | Учитывая A, h
    По заданному углу A и высоте вычислить сторону a, углы B, C и D, диагонали, периметр и площадь.
    • a = h / sin (A)
    • P = 4a
    • p = √ (2a 2 + 2a 2 cos (A))
    • q = √ (2a 2 — 2a 2 cos (A))
    • K = a 2 sin (A)
    • B = 180 ° — A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить a, A, B, h, P, K | Учитывая p, q
    По диагонали p и диагонали q вычислить длину стороны, углы A, B, C и D, высоту, периметр и площадь.
    • a = √ (p 2 + q 2 ) / 2
    • P = 4a
    • К = (p * q) / 2
    • A = arcsin (K / a 2 )
    • B = 180 ° — A
    • С = А
    • D = B
    • h = грех (A)

Список литературы

Цвиллинджер, Даниэль (главный редактор). Стандартные математические таблицы и формулы CRC, 31-е издание New York, NY: CRC Press, p. 323, 2003.

Математический форум: Спросите доктора математики FAQ: Четырехугольные формулы (http://mathforum.org/)

Вайсштейн, Эрик В. «Ромб». Из MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram. Ромб.

РАЗ МОДУЛЬ M11 — Площадь, объем и площадь поверхности

Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES)

вернуться к индексу

Площадь, объем и площадь

Измерение и геометрия: Модуль 11 Год: 8-10

июнь 2011

PDF Версия модуля

Предполагаемые знания

  • Знание площадей прямоугольников, треугольников, окружностей и составных фигур.
  • Определения параллелограмма и ромба.
  • Знакомство с основными свойствами параллельных прямых.
  • Знакомство с объемом прямоугольной призмы.
  • Базовые знания о совпадении и сходстве.
  • Поскольку будут задействованы некоторые формулы, студентам потребуется некоторый опыт в замещении, а также в распределительном законе.

Мотивация

Площадь плоской фигуры — это мера пространства внутри нее.Расчет площадей — важный навык, используемый многими людьми в повседневной работе. Строителям и торговцам часто необходимо определить площади и размеры строящихся сооружений, а также архитекторам, дизайнерам и инженерам.

В то время как прямоугольники, квадраты и треугольники обычно встречаются в окружающем нас мире, встречаются и другие формы, такие как параллелограмм, ромб и трапеция. Возьмем, к примеру, эту крышу с высоты птичьего полета.

Вид состоит из двух трапеций и двух треугольников.

Точно так же часто встречаются твердые тела, отличные от прямоугольной призмы. Пакет Toblerone ©
(с основанием на конце) представляет собой пример треугольной призмы, а бочка для масла
имеет форму цилиндра. Важно уметь определить объем таких твердых частиц.

Медицинские специалисты измеряют такие параметры, как скорость кровотока (которая определяется скоростью жидкости и площадью поперечного сечения потока), а также размер опухолей и новообразований.

В физике область под графиком скорость-время показывает пройденное расстояние.

В этом модуле мы будем использовать простые идеи для создания ряда фундаментальных формул
для площадей и объемов. Студенты должны понять, почему формулы верны, и запомнить их.

Содержимое

Площадь параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, противоположные стороны которого равны и параллельны.

Мы можем легко найти площадь параллелограмма по основанию b и высоте h.
На схеме ниже мы рисуем диагональ BD и делим фигуру на два треугольника, каждый с длиной основания b и высотой h. Поскольку площадь каждого треугольника равна bh, общая площадь A равна

.

A = bh.

Обратите внимание, что два треугольника на диаграмме не только имеют одинаковую площадь, но и являются конгруэнтными треугольниками.

Некоторые учителя могут предпочесть составить формулу площади для параллелограмма без использования формулы площади треугольника, чтобы они могли рассчитать площадь треугольника, используя формулу площади для параллелограмма.

Это можно сделать, показав, что треугольник справа на левой диаграмме ниже можно расположить слева, чтобы сформировать прямоугольник, основание и высота которого такие же, как у
, у параллелограмма, так что, опять же, площадь равна к ч.

Площадь трапеции

Трапеция — это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна. (Название происходит от греческого слова «стол».)

Мы можем найти площадь трапеции, если знаем длины двух параллельных сторон и перпендикулярное расстояние между этими двумя сторонами.

Так же, как и с параллелограммом, рисуем одну из диагоналей. Затем у нас есть два треугольника, оба высотой h, один с основанием a, один с основанием b.

Таким образом, площадь А трапеции равна

.

Итак, формула для площади трапеции с параллельными сторонами a и b и перпендикулярным расстоянием h между ними составляет

А = ч (а + б).

Это можно представить как «высоту, умноженную на среднее значение параллельных сторон».

Упражнение 1

Вот еще один вывод формулы площади трапеции. Предположим, ABCD
— это трапеция.

Возьмите F за середину CD и проведите через нее линию EG, параллельную AB.

a Объясните, почему треугольники CFG и DFE совпадают.

b Что это говорит нам о КГ и ЭД?

cОбъясните, почему AE = (BC + AD).

d Используйте формулу площади параллелограмма, чтобы получить формулу площади трапеции.

Упражнение 2

(В этом упражнении используются похожие треугольники).

На схеме ABCD — это трапеция с AB, параллельной DC, и расстоянием между ними h. Точки E и F являются серединами AD и BC соответственно. AG перпендикулярно DC в G и пересекает EF в H. Пусть a = AB, b = DC и = EF.

a Покажите, что EF параллелен DC.

b Рассмотрение треугольников AEH и ADG показывает, что AH = HG =.

c Сравнивая площади трех образованных трапеций или иным образом,
показывает, что площадь трапеции ABCD равна h.

Площадь ромба и воздушного змея

Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. В модуле Rhombuses, Kites and Trapezia , используя простые геометрические аргументы, мы показали

  • противоположные стороны параллельны
  • диагонали делят друг друга пополам под прямым углом

Таким образом, ромб — это параллелограмм, и мы можем вычислить площадь ромба, используя формулу для площади параллелограмма.

Теперь возьмем ромб с диагоналями длины x и y.

Установив ромб в одном углу, мы видим, что две диагонали разрезают ромб на четыре прямоугольных треугольника, которые можно составить, чтобы сформировать четыре прямоугольника внутри
большего прямоугольника.

Поскольку восемь треугольников имеют одинаковую площадь (действительно, все они совпадают), площадь ромба составляет половину площади большого прямоугольника, который равен xy.

Следовательно, если x и y — длины диагоналей ромба, то

Площадь ромба = xy.

Площадь ромба равна половине произведения длин диагоналей.

Упражнение 3

Предположим, что ABCD — это ромб с одной диагональю 8 см и одной стороной 5 см, как показано.

a Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину
другой диагонали.

b Отсюда найдите площадь ромба.

Упражнение 4

Воздушный змей — это четырехугольник, у которого две пары смежных сторон равны.

a Используйте конгруэнтность и два равнобедренных треугольника, чтобы показать, что диагонали воздушного змея перпендикулярны.

b Ясно, что мы можем закончить кайт, чтобы сформировать
прямоугольник, площадь которого вдвое больше, чем у воздушного змея,
, поэтому

Площадь воздушного змея = xy,

где x и y — длины диагоналей воздушного змея.

Площадь полигонов

Любой многоугольник можно разрезать на треугольники.Следовательно, площадь любого многоугольника определяется и может быть вычислена путем вычисления площади каждого треугольника.

Объем призмы

Многогранник — это твердое тело, ограниченное многоугольниками. Правая призма — это многогранник, у которого есть две совпадающие и параллельные грани (называемые основанием и вершиной), а все его остальные грани — прямоугольники. Это означает, что когда правая призма стоит на ее основании, все стены представляют собой вертикальные прямоугольники. Обычно мы говорим «призма», когда на самом деле имеем в виду «прямую призму».Призма имеет равномерное поперечное сечение. Это означает, что когда вы делаете срезы через твердое тело параллельно основанию, вы получаете многоугольники, совпадающие с основанием. Таким образом, площадь каждого среза всегда одинакова. В прямоугольной призме поперечное сечение всегда прямоугольное.

В модуле Введение в измерение мы увидели, что объем прямоугольной призмы определяется как площадь основания, умноженная на высоту, или

.

Объем = lwh, где l и w — длина и ширина призмы, а h — высота.

Треугольные призмы

В треугольной призме каждое поперечное сечение, параллельное треугольному основанию, представляет собой треугольник, конгруэнтный основанию.

Предположим, у нас есть треугольная призма, длина которой составляет 4 см, как показано на диаграмме.
Можно разрезать призму на слои длиной по 1 см каждый.

Ранее мы видели, что из остроугольного треугольника можно образовать прямоугольник с удвоенной площадью.

Аналогичным образом мы можем завершить треугольную призму, чтобы сформировать прямоугольную призму. Объем каждого из слоев толщиной 1 см составляет половину объема соответствующей прямоугольной призмы, т. Е.

.

Объем каждого слоя = × 3 × 2 см3.

Отсюда объем треугольной призмы

= × 3 × 2 × 4

Таким образом, объем треугольной призмы равен

.

Объем = площадь треугольного поперечного сечения × высота перпендикуляра = Ah.

Поскольку любой многоугольник можно разрезать на треугольники, объем любой призмы с многоугольным основанием равен площади A многоугольного основания, умноженной на высоту h, то есть

Объем = Ач

, где A — площадь многоугольного основания, а h — высота, когда призма находится на своем основании.

Пример

Найдите объем призмы, показанной на диаграмме.

Решение

Поперечное сечение представляет собой переднюю грань призмы и состоит из треугольника и прямоугольника.

А

= × 8 × 4 + (8 × 6)

= 64 см2.

Объем

= Ач

= 64 × 5

= 320 см3.

Упражнение 5

Большой постамент имеет форму призмы, передняя грань которой представляет собой трапецию.

a Найдите площадь лицевой стороны.

b Найдите объем пьедестала.

Объем цилиндра

Цилиндры повсеместно используются в повседневной жизни. Например, консервы обычно выпускаются в банках цилиндрической формы.

Если мы разрежем цилиндр параллельно его основанию, то каждое поперечное сечение будет кругом того же размера, что и основание.

Таким образом, цилиндр имеет то же основное свойство, что и призма, и мы возьмем формулу для объема цилиндра, равную площади круглого основания, умноженной на высоту. Мы не можем строго доказать эту формулу на данном этапе, потому что доказательство включает построение цилиндра как предела призм.

Если основная окружность цилиндра имеет радиус r, то мы знаем, что площадь окружности равна
A = π r2.Если высота цилиндра h, то его объем

Объем = π r2 × h = π r2h.

Пример

Для цилиндра радиусом 7 см и высотой 3 см найдите:

a — точный объем, выраженный в π.

b приблизительное значение объема с использованием π.

Решение

а

В

= π r2h

б

В

= π r2h

= π × 49 × 3

≈ × 49 × 3

= 147π см3

= 462 см3.

Упражнение 6

Термос высотой 30 см имеет форму двух цилиндров, расположенных один внутри другого. Он имеет внутренний радиус 8 см и внешний радиус 10 см. Какой объем между двумя цилиндрами?

Площадь призмы

Предположим, мы берем прямоугольную призму размером 3 см на 4 см на 5 см и открываем ее, как показано ниже.

Мы можем найти площадь плоской прямоугольной призмы, сложив площади шести прямоугольников.Есть три пары равных прямоугольников, поэтому общая площадь составляет

.

A = 2 × (3 × 4 + 3 × 5 + 4 × 5) = 94 см2.

Это называется площадью поверхности призмы.

Таким образом, площадь поверхности призмы — это сумма площадей ее граней. Действительно, площадь поверхности многогранника также является суммой площадей всех его граней.

Пример

Найдите площадь поверхности треугольной призмы
, показанной напротив.

Решение

Площадь фасада = × 12 × 16 = 96 см2.

Площадь спинки = 96 см2.

Площадь трех прямоугольных граней

= (9 × 20) + (9 × 12) + (9 × 16)

= 432 см2.

Общая площадь

= 96 + 96 + 432

= 624 см2.

Длина кромки

Длина кромки призмы — это сумма длин всех ее граней.

Упражнение 7

Найдите общую длину ребра призмы в приведенном выше примере.

Упражнение 8

Палатка, сделанная из бязи, включая грунтовку
, имеет форму треугольной призмы с размерами, как показано.Сколько бязи нужно для изготовления палатки?

Ссылки вперед

Площади

Теперь мы можем найти площади основных геометрических фигур. Мы также видели в модуле на окружностях, что площадь окружности определяется как A = π r2, где r — радиус. Чтобы понять площадь фигуры, не ограниченную ни прямыми линиями, ни дугами окружностей, нам понадобится интегральное исчисление. Хотя эти идеи восходят к Архимеду и Евдоксу, систематическое развитие интегрального исчисления принадлежит Ньютону и Лейбницу.

Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти площади различных фигур, имея достаточно информации об их сторонах и углах.

Объемы: пирамиды и призмы

Можно показать, что объем квадратной пирамиды составляет одну треть объема соответствующей правой призмы той же высоты и основания.

Объем пирамиды = Ah,
, где A — площадь основания
, а h — высота
перпендикуляра, измеренная от основания.

Эта формула верна для пирамид с многоугольным основанием площадью A.

Поперечные сечения конуса (или сферы) представляют собой окружности, но радиусы поперечных сечений различаются. Объем конуса равен одной трети объема соответствующего цилиндра той же высоты и радиуса.

Объем конуса = π r2h,
, где r — радиус основания
, а h — высота.

Наконец, объем сферы равен

.

Объем сферы = π r3,
где r — радиус сферы.

Это завершает формулы объема для основных твердых веществ. Твердые тела с нерегулярными границами можно рассматривать с помощью интегрального исчисления. Все они рассматриваются в модуле Конусы, Пирамиды и Сферы .

Площадь

Точно так же, как мы «разрезаем» призму, чтобы найти площадь поверхности, мы можем «разрезать» цилиндр радиуса r и высоты h, чтобы показать, что площадь изогнутой поверхности равна 2π rh. Складывая два круглых конца, мы получаем формулу A = 2π rh + 2π r2 для общей площади поверхности цилиндра.Формула площади поверхности для конуса: A = π r2 + π rl, где r — радиус, а l — высота наклона. Наконец, площадь поверхности сферы равна A = 4π r2, где r — радиус сферы.

История и приложения

Многие названия фигур и твердых тел, площадь и объем которых мы нашли, происходят от греческого языка. Например, трапеция (несмотря на латинское окончание) происходит от греческого слова, обозначающего стол, в то время как призма происходит от греческого слова, означающего пилу (поскольку поперечные сечения или разрезы совпадают), также слово цилиндр происходит от Греческое слово, означающее катиться. Древние греки были первыми, кто систематически исследовал площади и объемы плоских фигур и твердых тел.

В эллинистический период великий математик Архимед (ок. 287 — 212 г. до н.э.) аппроксимировал площадь круга, используя вписанные многоугольники, и нашел очень хорошее приближение к π. Он также вывел формулы для объема и площади поверхности сферы. Архимед разработал технику поиска областей и томов, названную «методом исчерпания», которая была близка к идеям, используемым в современном математическом анализе.

До разработки интегрального исчисления, которое вывело области и объемы на новый уровень абстракции, итальянский математик Бонавентура Франческо Кавальери (1598-1647) разработал результат, известный как принцип Кавальери, который гласит, что два объекта имеют одинаковый объем, если площади соответствующих им поперечных сечений во всех случаях равны. (Тот же принцип был ранее открыт Цзу Гэнчжи (480-525) в Китае.) Умное использование этого метода показывает, что объем полусферы радиусом r равен объему твердого тела, полученного путем удаления конуса радиус r и высота r от цилиндра такой же высоты и радиуса, таким образом показывая, что объем полусферы равен π r3.

Принцип

Кавальери можно использовать для определения объема наклонных твердых тел (в отличие от правильных твердых тел). Таким образом, наклонная призма имеет параллельное горизонтальное основание и вершину, но стороны не вертикальны. Такое твердое тело называется параллелепипедом (другое греческое слово, означающее параллельные плоскости).

Используя принцип Кавальери, можно показать, что формула объема такая же, как и формула
для призмы, а именно:

Объем = площадь основания × высота перпендикуляра.

Следующим большим достижением стало интегральное исчисление, когда можно было понять понятие площади под кривой, используя идеи предела. Хотя Ферма и Декарт добились в этом большого прогресса, именно (независимая) работа Ньютона и Лейбница привела к современной теории интеграции.

Существуют приблизительные методы определения площади фигуры с неровной границей. Одно довольно точное правило называется Правило Симпсона, которое было известно Кавальери, переоткрыто Грегори (1638–1675) и приписано Томасу Симпсону (1710–1761).Это правило позволяет нам найти приблизительное значение площади неправильной фигуры, производя измерения поперек фигуры в различных точках вдоль некоторой оси. Сегодня кардиологи используют его для измерения, например, объема правого желудочка (ПЖ), связанного с кровотоком в сердце.

Ответы к упражнениям

Упражнение 1

а

CF = DF

(F — середина CD)

CFG = DFE

(вертикально противоположные углы)

GCF = EDF

(альтернативные углы)

Треугольник CFG соответствует треугольнику DFE (SAS)

b CG = ED (совпадающие стороны равных треугольников)

с

2AE = AE + BG

= AD — ED + CG + BG

= AD + BG
AE = ( AD + BG )

d Площадь трапеции = площадь параллелограмма

= AE × h

= ( AD + BG ) × h

Упражнение 2

a Сдвиньте треугольники ADG и BCK вместе, чтобы образовать треугольник ACD ( B и A совпадают). E и F являются средними точками AC и AD соответственно. Треугольник AFE аналогичен треугольнику ACD и, таким образом, EF параллелен DC (соответствующие углы равны).

b Треугольник AEH аналогичен треугольнику ADG (AAA)

AH = HG =

с

Площадь

= (AB + CD)

= (2 (HJ + EH + JF))

= гл

Упражнение 3

a 6 см

b 24 см2

Упражнение 4

а Треугольник CBA соответствует CDA (SSS)
Треугольник BCE соответствует треугольнику DCE (SAS)
CEB = CED = 90 °

б

Площадь прямоугольника = xy .

Упражнение 5

a 31,5 м2 b 94,5 м3

Упражнение 6

1080π см3

Упражнение 7

123 см

Упражнение 8

60 м2

Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES) на 2009–2011 годы финансировался Министерством образования, занятости и трудовых отношений правительства Австралии.

Мнения, выраженные здесь, принадлежат автору и не обязательно отражают точку зрения Департамента образования, занятости и трудовых отношений Австралийского правительства.

© Мельбурнский университет от имени Международного центра передового опыта в области образования в области математики (ICE-EM), образовательного подразделения Австралийского института математических наук (AMSI), 2010 (если не указано иное). Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Непортированная лицензия.
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/

Калькулятор ромбов

Что такое площадь и периметр ромба?

Четырехугольник с четырьмя равными сторонами представляет собой ромб или ромб (см. Рисунок ниже). В некоторой литературе его называют равносторонним четырехугольником, так как все его стороны равны по длине.

Это означает, что если $ {\ overline {AB}} \ cong {\ overline {BC}} \ cong {\ overline {CD}} \ cong {\ overline {DA}} $, то $ {\ overline {ABCD}} $ — ромб.Поскольку противоположные стороны параллельны, ромб является параллелограммом, но не каждый параллелограмм является ромбом. Это означает, что все свойства параллелограмма применимы и к ромбу. Напомним, что параллелограмм обладает следующими свойствами:
  • Противоположные стороны параллелограмма равны;
  • Противоположные углы параллелограмма равны;
  • Последовательные углы параллелограмма дополняют друг друга;
  • Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам
Ромб обладает еще двумя свойствами:
  • Диагонали делят пополам противоположные углы ромба;
  • Диагонали ромба перпендикулярны.
Любой четырехугольник с перпендикулярными диагоналями, одна диагональ которых пересекается пополам, является воздушным змеем. Итак, ромб — это воздушный змей, но не каждый воздушный змей — ромб. Любой четырехугольник, который одновременно является воздушным змеем и параллелограммом, является ромбом. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны, мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны ромба. Рассмотрим ромб $ \ overline {ABCD} $. Диагонали ромба делят друг друга пополам, $ \ overline {AO} \ cong \ overline {OC} $ и $ \ overline {BO} \ cong \ overline {OD}.o $ вращение против часовой стрелки вокруг точки $ O $ переводит ромб в себя.
Расстояние вокруг ромба называется периметром ромба. Обычно обозначается $ P $. Чтобы найти периметр ромба, складываем длины его сторон. Таким образом, периметр ромба с длиной стороны $ a $ равен

$$ P = a + a + a + a = 4 \ times a $$

. Площадь ромба — это количество квадратных единиц, необходимое для заполнения ромба. Площадь, обычно обозначаемая $ A $. Ромб и прямоугольник на одном основании и между одинаковыми параллелями равны по площади.2) $ и т. Д.

Площадь и периметр ромба со ступенями показывает полный пошаговый расчет для определения периметра и площади ромба с длиной стороны $ 10 \; in $ и мерой угла. $ 30 $ градусов по формулам периметра и площади. Для любых других значений длины стороны и меры угла ромба просто введите два положительных вещественных числа и нажмите кнопку СОЗДАТЬ РАБОТУ. Учащиеся начальной школы могут использовать эту область и периметр ромба для создания работы, проверки результатов периметра и площади двумерных фигур или эффективного выполнения домашних заданий.

Как найти площадь ромба (формула и видео) // Tutors.com

Содержание

  1. Что такое ромб?
  2. Площадь Формулы ромба
  3. Как найти площадь ромба

Ромб — фигура плоская, поэтому она двухмерная. Это замкнутая фигура с прямыми (линейными) сторонами, один из множества четырехугольников (четырехугольников). Это частный случай параллелограмма. Все четыре стороны имеют одинаковую длину, и обе пары противоположных сторон параллельны.Противоположные углы тоже равны. Вот и все!

Ромб можно также назвать ромбом, ромбом или ромбом. Квадрат — это ромб с четырьмя равными (прямыми) углами.

Иногда вы видите ромб с двумя горизонтальными сторонами, как если бы квадрат врезался автобусом и перевернулся (это удобная мнемоника, чтобы запомнить его название: беги, автобус; ромб). На этой презентации можно очень легко увидеть высоту (высоту) ромба.

Иногда ромб рисуется так, чтобы одна из двух его диагоналей (линий, соединяющих противоположные вершины) была горизонтальной, что делает форму ромба более очевидной.

Одно необычное качество ромба состоит в том, что его диагонали всегда перпендикулярны друг другу, независимо от углов четырех вершин ромба.

Эти диагонали также делят друг друга пополам, что означает, что они делят ромб на четыре прямоугольных треугольника. Квадраты длин двух диагоналей всегда в четыре раза больше квадрата стороны.

Ромб такой простой формы имеет множество частей и размеров. Знание того, как использовать эти измерения, может помочь вам найти площадь, периметр и другие сведения о ромбе.

Площадь ромба Формула

Есть три разные формулы для определения площади ромба. Один использует высоту и сторону, другой — сторону и угол, а третий — диагонали. Три формулы для определения площади зависят от информации, которую вы знаете о ромбе.

  1. Если вы знаете высоту (высоту) и сторону s, формула будет следующей:
    площадь = высота × s
  2. Если вам известна длина одной стороны s и размер одного угла, формула будет следующей:
    площадь = s2 sin∠A = s2 sin∠B
  3. Если вам известны длины диагоналей, формула будет следующей:
    площадь = (d1 × d2) 2

Как найти площадь ромба

Построим ромб со сторонами s и четырьмя вершинами с внутренними углами A, B, C и D.Мы можем соединить противоположные углы диагоналями d1 и d2. Соединение одной стороны с другой перпендикулярной линией дает высоту или высоту. В нашем ромбе:

  • Четыре стороны равной длины: AB, BC, CD и DA
  • Четыре внутренних угла с равными противоположными углами: ∠a = ∠c и ∠b = ∠d
  • Две диагонали: d1 и d2; только в квадрате это будут диагонали одинаковой длины
  • Высота или высота — когда ромб расположен с двумя горизонтальными (плоскими) сторонами, высота h — это расстояние от одной стороны до противоположной стороны; отрезок прямой, перпендикулярный одной стороне, соединяющийся с противоположной стороной

Поскольку четыре стороны равны, если вы знаете длину любой стороны s, вы знаете длину всех четырех сторон.

Поскольку противоположные углы равны, а четыре угла складываются в 360 °, если вы знаете один угол, вы можете найти все углы. Поскольку противоположные стороны параллельны, смежные углы в ромбе складываются в 180 °.

Для определения площади необходимо знать высоту или высоту h ромба.

Помните, что высота не равна длине стороны.

Формула

с использованием высоты и стороны

Если у вас есть мысленное представление о ромбе как о наклонном квадрате, этот первый метод будет иметь большой смысл.

Если бы ромб был квадратом, его площадь в квадратных единицах была бы сторона x сторона, верно? Что ж, когда ромб наклонен, вы можете представить, как отрезать треугольную часть на одной стороне ромба и сдвинуть ее к соответствующей другой стороне, восстанавливая форму до ее прямоугольности.

На самом деле вы не можете разрезать каждый встреченный ромб, поэтому подумайте, что это за перпендикулярная сторона на самом деле: высота или высота ромба.

Итак, первый и, возможно, самый простой способ найти площадь ромба — это определить длину одной стороны и высоту ромба.Умножьте их, и вы получите площадь в квадратных единицах:

.

площадь = высота × сторона

Пример:

Итак, если у вас есть ромб высотой 3 дюйма со сторонами 5 дюймов, то площадь этого ромба составляет:

3 дюйма × 5 дюймов = 15 дюймов2

Другой пример: сторона s составляет 15 футов, а высота — 11 футов. Площадь этого ромба:

15 × 11 = 165 квадратных футов

Формула с использованием стороны и угла

Второй способ найти площадь ромба — это знать длину стороны s и величину одного угла (A или ∠B).Здесь вам нужно найти синус угла, но формула все еще проста:

площадь = s2 sin∠A

площадь = s2 sin∠B

Как видите, эти две формулы дают одинаковый результат, поэтому

площадь = s2 sin∠A = s2 sin∠B

Пример:

В ромбе со стороной 10 ярдов и внутренними прилегающими углами 60 ° и 120 °, чтобы найти площадь этого ромба, мы должны включить это в нашу формулу для площади, используя сторону и угол.

площадь = 102 sin60 °

, что также совпадает с

площадь = 102 sin120 °

Затем мы умножаем эти два числа вместе:

площадь = 100 × 0,866

Тогда получаем ответ:

площадь = 86,6 квадратных ярда

Помните, что для этого метода угол, который вы выбираете, не имеет значения. Формула одинакова для обоих углов; вам просто нужно выбрать один.

Синус 60 ° и 120 ° одинаков, 0,866

Формула с использованием диагоналей

Помните, что диагонали ромба всегда пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.Это означает, что две диагонали образуют две стороны квадрата, который в два раза больше ромба.

Вы можете найти площадь ромба в квадратных единицах, умножив длины двух диагоналей (d1 и d2) и разделив на два.

Если у нашего ромба есть только размеры диагоналей, мы бы использовали эту формулу.

Пример:

Если бы наш ромб имел диагонали 24 и 18 метров в длину, то, чтобы найти площадь этого ромба, мы бы подставили числа в нашу формулу.

площадь = (24 × 18) 2

Умножаем две диагонали:

площадь = (432) 2

Тогда получаем ответ:

площадь = 216 квадратных метров

Краткое содержание урока

Вы рассмотрели, что такое ромб, как он вписывается в семейство четырехугольников, каковы его различные части и как найти его площадь.

Следующий урок:

Воздушные змеи в геометрии

Формула площади и объема для геометрических фигур

пи (π) = 3.1415926535 …

сторона + сторона + высота основания (цилиндр) вс сторона стороны) 912 3) × пи × радиус 3 9128 7

Формула периметра

Квадрат 4 × сторона
Прямоугольник 2 × (длина + ширина)
Параллелограмм 2 ×
сторона1 + сторона2 + сторона3
Правильный n-образный многоугольник n × сторона
Трапеция высота × (основание1 + основание2) / 2
Трапеция csc (theta1) + csc (theta2)]
Окружность 2 × pi × радиус
Эллипс 4 × radius1 × E (k, pi / 2)
E (k, pi / 2) — полный эллиптический интеграл второго рода
k = (1 / radius1) × sqrt (radius1 2 — radius2 2 )

Формула площади

Квадрат Сторона 2
Прямоугольник длина × ширина
Параллелограмм основание × высота
Треугольник основание × высота / 2 многоугольник (1/4) × n × сторона 2 × кроватка (pi / n)
Трапеция высота × (base1 + base2) / 2
Окружность pi × радиус 2
Эллипс пи × радиус1 × радиус2
Куб (поверхность) 6 × сторона 2
Сфера (поверхность) 4 × пи × радиус 2
периметр круга × высота
2 × pi × радиус × высота
Цилиндр (вся поверхность) Области верхней и нижней окружностей + Площадь стороны
2 (пи × радиус 2 ) + 2 × пи × радиус × высота
Конус (поверхность) пи × радиус × сторона
Тор (поверхность) pi 2 × (радиус2 2 — радиус1 2 )

Формула объема

Куб сторона 3
Прямоугольная призма сторона1 × сторона2 × сторона3
Эллипсоид (4/3) × пи × радиус1 × радиус2 × радиус3
Цилиндр пи × радиус 2 × высота
Конус (1/3) × pi × радиус 2 × высота
Пирамида (1/3) × (площадь основания) × высота
Torus (1/4) × pi 2 × (r1 + r2) × (r1 — r2) 2

Источник: Spiegel, Murray R.

Check Also

Профессия ит специалист: Профессия IT-специалист. Описание профессии IT-специалиста. Кто такой IT-специалист. . Описание профессии

Содержание Что такое IT специалист — Кто кем работаетСамые востребованные IT-профессии 2021 года / Блог …

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.